假设您是一位观察者，位于 O {\displaystyle O} ，有一个物体 Q {\displaystyle Q} ，不在同一个水平面上。设 O P {\displaystyle OP} 是一条水平线，使得 O , P , Q {\displaystyle O,P,Q} 在一个垂直平面上。那么，如果 Q {\displaystyle Q} 在 0 {\displaystyle 0} 上方，则角度 ∠ Q O P {\displaystyle \angle QOP} 是从 P {\displaystyle P} 观察到的 Q {\displaystyle Q} 的 **仰角** ，如果 Q {\displaystyle Q} 在 O {\displaystyle O} 下方，则角度 ∠ Q O P {\displaystyle \angle QOP} 是 **俯角** 。
在使用仰角和俯角时，我们通常忽略人的高度，而是从某个方便的“地面”水平测量角度。
练习 1：对边、斜边、邻边
看上面的图。
∠ M L T {\displaystyle \angle MLT} 是直角。您将如何用英语翻译这些标签？
示例 1：旗杆
从旗杆底部 10 m {\displaystyle 10m} 处，旗杆顶部的仰角为 50 ∘ {\displaystyle 50^{\circ }} 。求旗杆的高度。
[图]
如果高度是 h {\displaystyle h} ，那么 h 10 = tan ( 50 ∘ ) {\displaystyle {\frac {h}{10}}=\tan(50^{\circ })} 。因此 h = 10 tan ( 50 ∘ ) = 11.92 m {\displaystyle h=10\tan(50^{\circ })=11.92m} （保留两位小数）。
示例 2：一个 15 m {\displaystyle 15m} 高的旗杆
已知一个旗杆高 15 m {\displaystyle 15m} 。从什么距离观察，它的顶部的仰角为 50 ∘ {\displaystyle 50^{\circ }} ？
[图]
如果距离是 d {\displaystyle d} ，那么 15 d = tan ( 50 ∘ ) {\displaystyle {\frac {15}{d}}=\tan(50^{\circ })} 。因此 d = 15 tan ( 50 ∘ ) = 12.59 m {\displaystyle d={\frac {15}{\tan(50^{\circ })}}=12.59m} （保留两位小数）。
例 3：一座 20 m {\displaystyle 20m} 高的塔
从一座高 20 m {\displaystyle 20m} 的塔的底部，旗杆顶部的仰角为 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 。从塔顶看，旗杆顶部的俯角为 25 ∘ {\displaystyle 25^{\circ }} 。求旗杆的高度和它到塔的距离。
设旗杆的高度为h，距离为d。则
(i) h d = tan ( 30 ∘ ) {\displaystyle {\frac {h}{d}}=\tan(30^{\circ })}
由于从塔顶看，旗杆顶部的俯角，所以旗杆顶点在塔顶下方。它比塔顶低 20 − h {\displaystyle 20-h} 米，所以
(ii) 20 − h d = tan ( 25 ∘ ) {\displaystyle {\frac {20-h}{d}}=\tan(25^{\circ })}
将这两个等式相加，我们得到
(iii) 20 d = tan ( 30 ∘ ) + tan ( 25 ∘ ) {\displaystyle {\frac {20}{d}}=\tan(30^{\circ })+\tan(25^{\circ })}
由此（如何？）我们可以得到 d = 19.16 m , h = 11.06 m {\displaystyle d=19.16m\ ,\ h=11.06m} （均保留两位小数）。
例 4：另一个旗杆
从某一点，旗杆顶部的仰角为 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 。沿着直线方向朝旗杆移动 10 m {\displaystyle 10m} 。现在旗杆顶部的仰角为 50 ∘ {\displaystyle 50^{\circ }} 。求旗杆的高度和它到第二点的距离。
[图]
设高度为 h {\displaystyle h} ，它到第二点的距离为 x {\displaystyle x} 。则
cot ( 50 ∘ ) = x h ; cot ( 30 ∘ ) = x + 10 h {\displaystyle \cot(50^{\circ })={\frac {x}{h}}\ ;\ \cot(30^{\circ })={\frac {x+10}{h}}}
从第二个表达式中减去第一个表达式，
cot ( 30 ∘ ) − cot ( 50 ∘ ) = 10 h {\displaystyle \cot(30^{\circ })-\cot(50^{\circ })={\frac {10}{h}}}
h = 10 cot ( 30 ∘ ) − cot ( 50 ∘ ) = 11.20 m {\displaystyle h={\frac {10}{\cot(30^{\circ })-\cot(50^{\circ })}}=11.20m}
x = h cot ( 50 ∘ ) = 9.40 m {\displaystyle x=h\cot(50^{\circ })=9.40m}
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